Возвратное уравнение четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени имеет вид:

Здесь A, B, C – произвольные действительные числа, A не равен нулю (иначе это не было бы уравнением четвёртой степени). Обратите внимание – коэффициенты этого уравнения, равноудалённые от концов, равны.

 

Используя красивый приём, его можно свести к уравнению второй степени, а решение последнего не представляет большого труда.

 

Итак. Очевидно, что 0 не является корнем заданного возвратного уравнения, ведь по условию коэффициент A не равен нулю. Поэтому обе части уравнения можно разделить на 

 

Нетрудно сообразить, что в левой части уравнения можно выделить полный квадрат прибавлением и вычитаем 2A:

или

Теперь ясно, что замена переменной

сводит исходное уравнение к квадратному:

Решив его, найдём в общем случае два значения и

 

Подставляя их в выражение (*), получаем уравнения относительно неизвестной x. Решив их, найдём корни (в общем случае четыре различных) возвратного уравнения четвёртой степени.

 

Метод математической индукции