Метод математической индукции – элегантный способ доказательства
утверждений, в которых речь идёт о математических объектах, зависящих от
натурального аргумента. Логическим основанием для него служит аксиома индукции,
пятая из аксиом Пеано, определяющих множество натуральных чисел.
Если требуется доказать, что некоторое утверждение справедливо для
любого индекса n, принадлежащего множеству натуральных чисел, то можно
попытаться сделать это, следуя принципу математической индукции. А именно:
1) Проверить, что утверждение верно при n = 1.
2) Предположить, что оно верно при произвольном n = k и на основе
этого предположения ДОКАЗАТЬ, что оно верно при n = k+1 (то есть для
следующего по порядку значения индекса).
Рассмотрим следующую задачу:
Доказать, что для любого натурального n
Решим её, используя принцип математической индукции.
1) Проверим, что утверждение верно при n = 1. Имеем:
Да, это верно.
2) Предположим, что при произвольном n = k справедливо неравенство:
Докажем, что тогда
Действительно, имеем следующую цепочку справедливых утверждений:
(Если формула не видна, щёлкните на ней для увеличения изображения)
Поскольку значение функции cos(x) при любом аргументе по модулю меньше единицы,
имеем право записать:
По индуктивному предположению:
В итоге получаем:
Замечание: В методе математической индукции начинать можно не с 1, а с некоторого числа m, большего единицы. Такое бывает – утверждение может не быть справедливым для конечного числа случаев, а потом, начиная с индекса m, оно становится справедливым. Но последнее, конечно, требует строгого доказательства, которое можно провести индукцией: 1) проверка для n = m; 2) предположение, что утверждение верно при произвольном k, большем либо равном m; 3) доказательство, что оно справедливо при n = k + 1. В подобных случаях, нужно понимать, что при n < m утверждение может быть как верным, так и не верным. Если число k небольшое, можно осуществить непосредственную проверку.
ОтветитьУдалить