Природа: Задачи

Постарайтесь сначала решить задачку самостоятельно, а потом сверитесь с тем решением, который тут предлагается. Это будет полезнее.

Сколько ног у осьминогов? (задача на логику)

В подводном царстве живут осьминоги, у которых может быть 6, 7 или 8 ног. Те, у которых по 7 ног, всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. При встрече четверых осьминогов Синий сказал: “у нас на всех в сумме 25 ног”, Зелёный возразил: “нет, всего ног 26”, Красный сказал, что в сумме ног 27, а Жёлтый – что 28.

Сколько на самом деле у них ног, в сумме и у каждого по отдельности?

Решение:

Схема для наглядности: Синий – 25, Зелёный – 26, Красный – 27, Жёлтый – 28.

Значения все разные. Отсюда следует, что хотя бы у одного из осьминогов семь ног. Если бы все они были шестиногими или восьминогими, то, согласно условию, они бы все сказали правду и все названные значения были бы одинаковыми и истинными.

По той же причине (значения все разные) в этой группе не может быть только два семиногих или один семиногий. В этих случаях остальные (двое или трое) были бы осьминогами, говорящими только правду, а это значит, что среди названных значений должны были быть два или три одинаковых. Стало быть повстречались точно три семиногих и один другой – шестиногий или восьминогий.

Допустим “другой” был восьминогим. Тогда у них ног в сумме 7 х 3 + 8 = 29. Но этого значения среди названных нет, а восьминогий его обязательно назвал бы, как говорящий только правду. Значит, этот вариант невозможен.

Следовательно, “другой” был шестиногим. Ног в сумме у них 7 х 3 + 6 = 27. Это значение назвал Красный, значит, именно он шестиногий.

Итак, ответ:

Сумма – 27. У Синего, Зелёного и Жёлтого по 7 ног, у Красного – 6.

Задача 11.07.16

Доказать, что при любом чётном n число

делится на 48.

Решение:

По условию n – чётное число, следовательно, его можно представить в виде n = 2k (k-целое). Тогда имеем:

Если удастся доказать, что

делится на 6, то станет ясно, что N делится на 48.

Выполним преобразования (для увеличения формулы щёлкните по ней мышкой):

Очевидно, что второе слагаемое делится на 6. Первое слагаемое

представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел, из которых одно непременно делится на 3. Кроме того, среди трёх последовательных целых чисел по крайней мере одно чётное, то есть делится на 2.

Поскольку 2 и 3 – взаимно простые числа, выражение

делится на 6 при любом значении k. Итак,

делится на 6.

Окончательно получаем, что

делится на 48. Что и требовалось доказать.

Задача 05.03.16

Известно, что

2 + 3 = 10

7 + 7 = 98

3 + 5 = 24.

Здесь знаком “+” обозначена некая бинарная операция.

Используя три указанных примера, найти заключённую в них закономерность и вычислить, чему рано 8 + 6.

Решение:

Сложив обычным (принятым в математике) образом числа из левых частей указанных равенств получим:

Сравнивая их с числами, расположенными в правых частях равенств, несложно заметить, что

10 = 5 * 2 (первая цифра первого из исходных равенств)

98 = 14 * 7 (первая цифра второго из исходных равенств)

24 = 8 * 3 (первая цифра третьего из исходных равенств).

Итак, алгоритм вычисления значения выражения 8 + 6 найден: нужно сложить 8 и 6, а полученную сумму умножить на 8.

Ответ: 112

Задача 26.01.16

Решить уравнение

Решение:

Очевидно, что

при любом х.

С другой стороны, при любом х

как сумма взаимнообратных положительных величин.

Поэтому левая и правая части исходного уравнения могут равняться друг другу лишь в одном случае – когда обе они равны 2. Таким образом, имеем систему двух уравнений с одним неизвестным:

Второе уравнение имеет единственный корень x=0. Подставив это значение в первое уравнение вместо x, убеждаемся, что x=0 является его корнем. Следовательно, x=0 является единственным решением системы и исходного уравнения.

Задача 03.12.15

Известно, что